Formation ECAM Arts & Métiers
Données Générales
Programme Académique Formation ECAM Arts & Métiers :
Type de module Cours
Cours : 108h00
TD : 54h00
TP : 0h00
Projet : 0h00
Stage : 0h00
Travail personnel : 120h00
Durée totale : 162
Statut :
Obligatoire
Période :
SEMESTRE 1
Langue d'enseignement :
Français
Objectifs généraux
Cette unité d'enseignement des Mathématiques vise deux objectifs :
– l'acquisition d'un solide bagage de connaissances et de méthodes permettant notamment de passer de la perception intuitive de certaines notions à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathématiques et dans les autres disciplines. Ce degré d'appropriation suppose la maîtrise du cours, c'est-à-dire des définitions, énoncés et démonstration des théorèmes figurant au programme;
– le développement de compétences utiles aux scientifiques pour identifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendre avec un recul suffisant des décisions dans un contexte complexe.
Pour répondre à cette double exigence, et en continuité avec les programmes de mathématiques du lycée, les programmes des classes préparatoires définissent un corpus de connaissances et de capacités, et explicitent six grandes compétences qu'une activité mathématique bien conçue permet de développer :
– s'engager dans une recherche, mettre enoeuvre des stratégies : découvrir une problématique, l'analyser, la transformer ou la simplifier, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identifier des particularités ou des analogies ;
– modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à la réalité, le valider, le critiquer ;
– représenter : choisir le cadre (numérique, algébrique, géométrique ...) le mieux adapté pour traiter un problème ou représenter un objet mathématique, passer d'un mode de représentation à un autre, changer de registre ;
– raisonner, argumenter : effectuer des inférences inductives et déductives, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture ;
– calculer, utiliser le langage symbolique : manipuler des expressions contenant des symboles, organiser les différentes étapes d'un calcul complexe, effectuer un calcul automatisable à la main où à l'aide d'un instrument (calculatrice, logiciel...), contrôler les résultats ;
– communiquer à l'écrit et à l'oral : comprendre les énoncés mathématiques écrits par d'autres, rédiger une solution rigoureuse, présenter et défendre un travail mathématique.
Contenu
1. Raisonnement et vocabulaire ensembliste
a) Rudiments de logique
b) Ensembles
c) Applications et relations d'équivalence

2. Nombres complexes et trigonométrie
a) Nombres complexes
b)Module d'un nombre complexe
c) Nombres complexes demodule 1 et trigonométrie
d) Arguments d'un nombre complexe non nul
e) Équation du second degré
f ) Racines n-ièmes
g) Exponentielle complexe
h) Nombres complexes et géométrie plane

3. Calculs algébriques
a) Sommes et produits
b) Coefficients binomiaux et formule du binôme

4. Techniques fondamentales de calcul en analyse
A - Inégalités dans R
Relation d'ordre sur R. Compatibilité avec les opérations. Intervalles de R.
Valeur absolue. Inégalité triangulaire.
Parties majorées, minorées, bornées. Majorant, minorant ; maximum, minimum.
B - Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes
a) Généralités sur les fonctions
b) Dérivation
c) Étude d'une fonction
d) Fonctions usuelles
e) Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle
C - Primitives et équations différentielles linéaires
a) Calcul de primitives
b) Équations différentielles linéaires du premier ordre
c) Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

5. Nombres réels et suites numériques
a) Ensembles usuels de nombres
b) Généralités sur les suites réelles
c) Limite d'une suite réelle
d) Théorèmes d'existence d'une limite
e) Suites extraites
f ) Brève extension aux suites complexes

6. Limites, continuité et dérivabilité
A - Limites et continuité
a) Limite d'une fonction en un point
b) Continuité en un point
c) Continuité sur un intervalle
d) Brève extension aux fonctions à valeurs complexes
B - Dérivabilité
a) Nombre dérivé, fonction dérivée
b) Propriétés des fonctions dérivables
c) Fonctions de classe C^k
d) Fonctions complexes

7. Systèmes linéaires et calcul matriciel
A - Systèmes linéaires
a) Généralités sur les systèmes linéaires
b) Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan
c) Ensemble des solutions d'un système linéaire
B - Calcul matriciel
a) Ensembles de matrices
b) Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel
c)Matrices carrées inversibles
d) Transposition

8. Entiers naturels et dénombrement
A - Rudiments d'arithmétique dans N
Multiples et diviseurs d'un entier. Division euclidienne dans N.
PGCD de deux entiers naturels non nuls.
PPCM.
Définition d'un nombre premier. Existence et unicité de la décomposition d'un entier supérieur ou égal à 2 en produit de facteurs premiers.
B - Dénombrement
a) Cardinal d'un ensemble fini
b) Listes et combinaisons
Prérequis
Cours de Mathématiques programme filière S
Bibliographie
Mathématiques tout-en-un PCSI-PTSI Claude Deschamps, François Moulin, André Warusfel, Nathalie Cleirec, Jack Michel CORNIL (J'intègre, Dunod)
"Analyse réelle et Complexe" RUDIN (Dunod)
"Analyse fonctionnelle" BREZIS (Dunod)
"Introduction à la théorie des nombres" HARDY-WRIGHT (Springer-Verlag)
"Finite Geometries" Le DEMBOWSKI (Springer)
"Basic Algebra" volume I et II JACOBSON (Dover en deux volumes)
Évaluation(s)
Nature Coefficient Objectifs
1Devoir écrit2
2Devoir oral19 contrôles oraux (1 contrôle par quinzaine)