Formation ECAM Arts & Métiers
Données Générales
Programme Académique Formation ECAM Arts & Métiers :
Type de module Cours
Cours : 126h00
TD : 54h00
TP : 0h00
Projet : 0h00
Stage : 0h00
Travail personnel : 120h00
Durée totale : 162
Statut :
Obligatoire
Période :
SEMESTRE 2
Langue d'enseignement :
Français
Objectifs généraux
Cette unité d'enseignement des Mathématiques vise deux objectifs :
– l'acquisition d'un solide bagage de connaissances et de méthodes permettant notamment de passer de la perception intuitive de certaines notions à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathématiques et dans les autres disciplines. Ce degré d'appropriation suppose la maîtrise du cours, c'est-à-dire des définitions, énoncés et démonstration des théorèmes figurant au programme;
– le développement de compétences utiles aux scientifiques pour identifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendre avec un recul suffisant des décisions dans un contexte complexe.
Pour répondre à cette double exigence, et en continuité avec les programmes de mathématiques du lycée, les programmes des classes préparatoires définissent un corpus de connaissances et de capacités, et explicitent six grandes compétences qu'une activité mathématique bien conçue permet de développer :
– s'engager dans une recherche, mettre enoeuvre des stratégies : découvrir une problématique, l'analyser, la transformer ou la simplifier, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identifier des particularités ou des analogies ;
– modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à la réalité, le valider, le critiquer ;
– représenter : choisir le cadre (numérique, algébrique, géométrique ...) le mieux adapté pour traiter un problème ou représenter un objet mathématique, passer d'un mode de représentation à un autre, changer de registre ;
– raisonner, argumenter : effectuer des inférences inductives et déductives, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture ;
– calculer, utiliser le langage symbolique : manipuler des expressions contenant des symboles, organiser les différentes étapes d'un calcul complexe, effectuer un calcul automatisable à la main où à l'aide d'un instrument (calculatrice, logiciel...), contrôler les résultats ;
– communiquer à l'écrit et à l'oral : comprendre les énoncés mathématiques écrits par d'autres, rédiger une solution rigoureuse, présenter et défendre un travail mathématique.
Contenu
1. Géométrie du plan et de l'espace
A- Géométrie du plan
a)Modes de repérage
b) Produit scalaire
c) Produit mixte dans le plan orienté
d) Droites
e) Cercles
B- Géométrie de l'espace
a)Modes de repérage
b) Produit scalaire
c) Produit vectoriel dans l'espace orienté
d) Produit mixte dans l'espace orienté
e) Plans et droites
f ) Sphères
C- Exemples de transformations vectorielles du plan ou de l'espace
a) Exemples dans le plan euclidien
b) Exemples dans l'espace euclidien

2. Polynômes
a) L'ensemble K[X]
b) Divisibilité et division euclidienne dans K[X]
c) Dérivation dans K[X]
d) Racines
e) Décomposition en produit d'irréductibles de C[X] et R[X]
f ) Somme et produit des racines d'un polynôme

3. Espaces vectoriels et applications linéaires
A - Espaces vectoriels
a) Espaces et sous-espaces vectoriels
b) Familles finies de vecteurs
B - Espaces vectoriels de dimension finie
a) Dimension finie
b) Sous-espaces d'un espace vectoriel de dimension finie
C - Applications linéaires
a) Généralités
b) Isomorphismes
c)Modes de définition d'une application linéaire
d) Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel
e) Rang d'une application linéaire
f ) Équations linéaires

4. Matrices et déterminants
A -Matrices
a)Matrices et applications linéaires
b) Noyau, image et rang d'unematrice
B - Déterminants
a) Déterminant d'une matrice carrée de taille n
b) Propriétés du déterminant
c) Déterminant d'un endomorphisme

5. Intégration
a) Fonctions en escalier
b) Intégrale d'une fonction continue sur un segment
c) Sommes de Riemann
d) Calcul intégral
e) Formule de Taylor avec reste intégral
f ) Brève extension au cas des fonctions à valeurs complexes

6. Analyse asymptotique
a) Relations de comparaison : cas des suites
b) Relations de comparaison : cas des fonctions
c) Développements limités
d) Applications des développements limités

7. Séries numériques
a) Généralités
b) Séries à termes positifs
c) Séries absolument convergentes
d) Application au développement décimal d'un nombre réel

8. Probabilités
A - Généralités
a) Expérience aléatoire et univers
b) Espaces probabilisés finis
c) Probabilités conditionnelles
d) Événements indépendants
B - Variables aléatoires sur un univers fini
a) Variables aléatoires
b) Lois usuelles
c) Couples de variables aléatoires
d) Variables aléatoires indépendantes
e) Espérance
f) Variance et écart type
Prérequis
Cours de Mathématiques programme filière S
Module semestre 1 : LIIAem01EMaths1-Mathématiques 1
Bibliographie
Mathématiques tout-en-un PCSI-PTSI Claude Deschamps, François Moulin, André Warusfel, Nathalie Cleirec, Jack Michel CORNIL (J'intègre, Dunod)
"Analyse réelle et Complexe" RUDIN (Dunod)
"Analyse fonctionnelle" BREZIS (Dunod)
"Introduction à la théorie des nombres" HARDY-WRIGHT (Springer-Verlag)
"Finite Geometries" Le DEMBOWSKI (Springer)
"Basic Algebra" volume I et II JACOBSON (Dover en deux volumes)
Évaluation(s)
Nature Coefficient Objectifs
1Devoir écrit2
2Devoir oral19 contrôles oraux (1 contrôle par quinzaine)