Formation ECAM Arts & Métiers
Données Générales
Programme Académique Formation ECAM Arts & Métiers :
Type de module Cours
Cours : 108h00
TD : 54h00
TP : 0h00
Projet : 0h00
Stage : 0h00
Travail personnel : 120h00
Durée totale : 162
Statut :
Obligatoire
Période :
SEMESTRE 3
Langue d'enseignement :
Français
Objectifs généraux
Cette unité d'enseignement des Mathématiques vise deux objectifs :
– l'acquisition d'un solide bagage de connaissances et de méthodes permettant notamment de passer de la perception intuitive de certaines notions à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathématiques et dans les autres disciplines. Ce degré d'appropriation suppose la maîtrise du cours, c'est-à-dire des définitions, énoncés et démonstrations des théorèmes figurant au programme ;
– le développement de compétences utiles aux scientifiques, qu'ils soient ingénieurs, chercheurs ou enseignants, pour identifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendre avec un recul suffisant des décisions dans un contexte complexe.

Description et prise en compte des compétences :
1) S'engager dans une recherche, mettre en oeuvre des stratégies : Cette compétence vise à développer les attitudes de questionnement et de recherche, au travers de réelles activités mathématiques, prenant place au sein ou en dehors de la classe. Les différents temps d'enseignement (cours, travaux dirigés, heures d'interrogation) doivent privilégier la découverte et l'exploitation de problématiques, la réflexion sur les démarches suivies, les hypothèses formulées et les méthodes de résolution.

2) Modéliser : Le programme présente des notions, méthodes et outilsmathématiques permettant de modéliser l'état et l'évolution de systèmes déterministes ou aléatoires issus de la rencontre du réel et du contexte, et éventuellement du traitement qui en a été fait par la mécanique, la physique, la chimie, les sciences de l'ingénieur. La modélisation contribue ainsi de façon essentielle à l'unité de la formation scientifique et valide les approches interdisciplinaires.

3) Représenter : Un objetmathématique se prête en général à des représentations issues de différents cadres ou registres : algébrique, géométrique, graphique, numérique. Élaborer une représentation, changer de cadre, traduire des informations dans plusieurs registres sont des composantes de cette compétence.

4) Raisonner, argumenter : Basé sur l'élaboration de liens déductifs ou inductifs entre différents éléments, le raisonnement mathématique permet de produire une démonstration, qui en est la forme aboutie et communicable.

5) Calculer, manipuler des symboles, maîtriser le formalisme mathématique : Le calcul et la manipulation des symboles sont omniprésents dans les pratiques mathématiques. Ils en sont des composantes essentielles, inséparables des raisonnements qui les guident ou qu'en sens inverse ils outillent. La maîtrise des méthodes de calcul figurant au programme nécessite aussi la connaissance de leur cadre d'application, l'anticipation et le contrôle des résultats qu'elles permettent d'obtenir.
Contenu
1. Algèbre linéaire : Ce chapitre est organisé autour de trois objectifs :
– consolider les acquis de la classe de première année.
– étudier de nouveaux concepts : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, projecteurs, hyperplans, sous-espaces stables, trace.
– passer du point de vue géométrique au point de vue matriciel et inversement.
A - Compléments d'algèbre linéaire
a) Familles quelconques de vecteurs
b) Sous-espaces vectoriels
c) Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel
d) Sous-espaces stables
e)Matrices
B - Déterminants
a) Déterminant d'une matrice carrée
b) Propriétés du déterminant
c) Déterminant d'une famille de vecteurs, d'un endomorphisme
C - Réduction des endomorphismes et des matrices
a) Éléments propres
b) Endomorphismes et matrices diagonalisables
c) Endomorphismes et matrices trigonalisables
d) Applications

2. Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens : Ce chapitre est organisé autour de trois objectifs :
– consolider les acquis des semestres S1 et S2 sur les espaces euclidiens ;
– étudier les isométries vectorielles et les matrices orthogonales, notamment dans le cas des dimensions 2 et 3 en insistant sur les représentations géométriques ;
– traiter la réduction des matrices symétriques réelles et l'appliquer à la classification et l'étude des coniques.
A - Structure préhilbertienne
a) Produit scalaire et norme
b) Orthogonalité en dimension quelconque
c) Bases orthonormales
d) Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie
B - Isométries d'un espace euclidien
a) Isométries vectorielles
b)Matrices orthogonales
c) Description des isométries vectorielles des espaces euclidiens orientés de dimensions 2 et 3
d)Matrices symétriques réelles
e) Coniques

3. Fonctions vectorielles d'une variable réelle et courbes paramétrées du plan : Il convient de mettre en évidence et en relation les différents modes de représentation des courbes du plan (paramétrage, équation cartésienne, cas d'un graphe), et de formaliser des notions géométriques (courbe paramétrée, tangente) et cinématiques (vitesse, accélération) rencontrées dans d'autres disciplines scientifiques.
L'utilisation des changements de paramétrage réduite à la paramétrisation par l'abscisse curviligne, on identifie les courbes paramétrées avec l'arc géométrique dont ils sont un représentant. L'étude des propriétés métriques d'une courbe paramétrée et celle de l'enveloppe d'une famille de droites privilégient la vision géométrique plutôt que le recours à l'application de formules.
a) Norme euclidienne dans R^2 et R^3
b) Fonctions vectorielles à valeurs dans R^2 ou R^3
c) Courbes paramétrées du plan
d) Propriétés métriques d'une courbe plane
e) Enveloppe d'une famille de droites. Développée.

4. Intégrales généralisées : L'objectif de ce chapitre est double :
– étendre la notion d'intégrale étudiée en première année à des fonctions continues sur un intervalle quelconque par le biais des intégrales généralisées ;
– définir, dans le cadre des fonctions continues, la notion de fonction intégrable.
a) Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle
b) Intégrabilité d'une fonction continue sur un intervalle
Prérequis
Cours de Mathématiques programme filière S
Module semestre 1 : LIIAem01EMaths1-Mathématiques 1
Module semestre 1 : LIIAem02EMaths2-Mathématiques 2
Bibliographie
Mathématiques tout-en-un PCSI-PTSI Claude Deschamps, François Moulin, André Warusfel, Nathalie Cleirec, Jack Michel CORNIL (J'intègre, Dunod)
"Analyse réelle et Complexe" RUDIN (Dunod)
"Analyse fonctionnelle" BREZIS (Dunod)
"Introduction à la théorie des nombres" HARDY-WRIGHT (Springer-Verlag)
"Finite Geometries" Le DEMBOWSKI (Springer)
"Basic Algebra" volume I et II JACOBSON (Dover en deux volumes)
Évaluation(s)
Nature Coefficient Objectifs
1Devoir écrit2
2Devoir oral19 contrôles oraux (1 contrôle par quinzaine)