Formation ECAM Arts & Métiers
Données Générales
Programme Académique Formation ECAM Arts & Métiers :
Type de module Cours
Cours : 108h00
TD : 54h00
TP : 0h00
Projet : 0h00
Stage : 0h00
Travail personnel : 120h00
Durée totale : 162
Statut :
Obligatoire
Période :
SEMESTRE 4
Langue d'enseignement :
Français
Objectifs généraux
Cette unité d'enseignement des Mathématiques vise deux objectifs :
– l'acquisition d'un solide bagage de connaissances et de méthodes permettant notamment de passer de la perception intuitive de certaines notions à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathématiques et dans les autres disciplines. Ce degré d'appropriation suppose la maîtrise du cours, c'est-à-dire des définitions, énoncés et démonstrations des théorèmes figurant au programme ;
– le développement de compétences utiles aux scientifiques, qu'ils soient ingénieurs, chercheurs ou enseignants, pour identifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendre avec un recul suffisant des décisions dans un contexte complexe.

Description et prise en compte des compétences :
1) S'engager dans une recherche, mettre en oeuvre des stratégies : Cette compétence vise à développer les attitudes de questionnement et de recherche, au travers de réelles activités mathématiques, prenant place au sein ou en dehors de la classe. Les différents temps d'enseignement (cours, travaux dirigés, heures d'interrogation) doivent privilégier la découverte et l'exploitation de problématiques, la réflexion sur les démarches suivies, les hypothèses formulées et les méthodes de résolution.

2) Modéliser : Le programme présente des notions, méthodes et outils mathématiques permettant de modéliser l'état et l'évolution de systèmes déterministes ou aléatoires issus de la rencontre du réel et du contexte, et éventuellement du traitement qui en a été fait par la mécanique, la physique, la chimie, les sciences de l'ingénieur. La modélisation contribue ainsi de façon essentielle à l'unité de la formation scientifique et valide les approches interdisciplinaires.

3) Représenter : Un objet mathématique se prête en général à des représentations issues de différents cadres ou registres : algébrique, géométrique, graphique, numérique. Élaborer une représentation, changer de cadre, traduire des informations dans plusieurs registres sont des composantes de cette compétence.

4) Raisonner, argumenter : Basé sur l'élaboration de liens déductifs ou inductifs entre différents éléments, le raisonnement mathématique permet de produire une démonstration, qui en est la forme aboutie et communicable.

5) Calculer, manipuler des symboles, maîtriser le formalisme mathématique : Le calcul et la manipulation des symboles sont omniprésents dans les pratiques mathématiques. Ils en sont des composantes essentielles, inséparables des raisonnements qui les guident ou qu'en sens inverse ils outillent. La maîtrise des méthodes de calcul figurant au programme nécessite aussi la connaissance de leur cadre d'application, l'anticipation et le contrôle des résultats qu'elles permettent d'obtenir.

6) Communiquer à l'écrit et à l'oral : La phase de mise au point d'un raisonnement et de rédaction d'une solution permet de développer les capacités d'expression. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements, constituent des objectifs très importants. La communication utilise des moyens diversifiés : les étudiants doivent être capables de présenter un
travail clair et soigné, à l'écrit ou à l'oral, au tableau ou à l'aide d'un dispositif de projection.
Contenu
1. Séries numériques : Cette partie étend l'étude des séries à termes positifs vue aux semestres S1 et S2 à celle des séries à termes réels et complexes, en introduisant la convergence absolue, en vue de l'étude des probabilités discrètes.
a) Compléments sur les séries à termes positifs
b) Séries absolument convergentes
c) Conditionnement et indépendance
B - Variables aléatoires discrètes
a) Généralités
b) Espérance et variance
c) Variables aléatoires à valeurs dans N, séries génératrices
d) Lois usuelles
e) Résultats asymptotiques

2. Séries entières : Les objectifs de ce chapitre sont les suivants :
– étudier la convergence d'une série entière de variable complexe et mettre en évidence la notion de rayon de convergence ;
– étudier les propriétés de sa somme en se limitant au cas d'une variable réelle ;
– établir les développements en série entière des fonctions usuelles.
a) Rayon de convergence
b) Propriétés de la somme d'une série entière d'une variable réelle
c) Fonctions développables en série entière.
d) Séries géométrique et exponentielle d'une variable complexe.

3. Probabilités discrètes : Ce chapitre permet de développer les capacités suivantes :
– modéliser des situations aléatoires par le choix d'un espace probabilisé ou de variables aléatoires adéquats ;
– maîtriser le langage et le formalisme spécifiques aux probabilités.
A - Espaces probabilisés
a) Ensembles dénombrables
b) Espaces probabilisés

4. Équations différentielles et systèmes différentiels : L'étude des équations différentielles linéaires scalaires d'ordres un et deux, abordée aux semestres S1 et S2, se poursuit par celle des systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 et des équations scalaires à coefficients non constants, en mettant l'accent sur les équations d'ordre deux.
– la forme des solutions ;
– le théorème de Cauchy linéaire ;
– le lien entre les équations scalaires et les systèmes différentiels d'ordre un ;
– la résolution explicite.
a) Équations différentielles scalaires d'ordre 2
b) Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

5. Fonctions de deux ou trois variables : L'étude des fonctions de plusieurs variables est tournée vers les applications : résolution sur des exemples d'équations aux dérivées partielles, problèmes d'extremums, intégrales dépendant d'un paramètre. On se limite aux fonctions à valeurs dans R^n avec n <= 3.
A - Fonctions de R^p dans R (p Æ 2 ou 3)
a) Limite et continuité
b) Dérivées partielles
c) Extremums d'une fonction de deux variables
d) Courbes du plan définies par une équation cartésienne
B - Fonctions de R^p dans R^n (p <= 3, n <= 3)
a) Limite et continuité
b) Dérivées partielles
C - Intégrales dépendant d'un paramètre
a) Théorème de continuité
b) Théorème de dérivation

6. Courbes et surfaces dans l'espace : On présente deux modes de représentation d'une surface de R3 : paramétrage et équation cartésienne.
a) Courbes et surfaces de R^3 paramétrées
b) Surfaces définies par une équation cartésienne
c) Exemples de surfaces
Prérequis
Cours de Mathématiques programme filière S
Module semestre 1 : LIIAem01EMaths1-Mathématiques 1
Module semestre 2 : LIIAem02EMaths2-Mathématiques 2
Module semestre 3 : LIIAem03EMaths2-Mathématiques 3
Bibliographie
Mathématiques tout-en-un PCSI-PTSI Claude Deschamps, François Moulin, André Warusfel, Nathalie Cleirec, Jack Michel CORNIL (J'intègre, Dunod)
"Analyse réelle et Complexe" RUDIN (Dunod)
"Analyse fonctionnelle" BREZIS (Dunod)
"Introduction à la théorie des nombres" HARDY-WRIGHT (Springer-Verlag)
"Finite Geometries" Le DEMBOWSKI (Springer)
"Basic Algebra" volume I et II JACOBSON (Dover en deux volumes)
Évaluation(s)
Nature Coefficient Objectifs
1Devoir écrit2
2Devoir oral19 contrôles oraux (1 contrôle par quinzaine)