Mathématiques

Données Générales
Programme Académique	Formation ECAM LaSalle Cycle Préparatoire Arts et Métiers			Responsable(s) Module : CALERO Mathieu,LAGRAA Abdelkader
Type d'EC : Cours	Mathématiques (LIIA&m02EMath)
TD : 84h00 Cours : 28h00 Travail personnel : 70h00	Statut Obligatoire	Periode Semestre 2	Langue d'enseignement : Français

Objectifs Généraux
Cette unité d'enseignement des Mathématiques vise deux objectifs : – l’acquisition d’un solide bagage de connaissances et de méthodes permettant notamment de passer de la perception intuitive de certaines notions à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathématiques et dans les autres disciplines. Ce degré d’appropriation suppose la maîtrise du cours, c’est-à-dire des définitions, énoncés et démonstration des théorèmes figurant au programme; – le développement de compétences utiles aux scientifiques pour identifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendre avec un recul suffisant des décisions dans un contexte complexe. Pour répondre à cette double exigence, et en continuité avec les programmes de mathématiques du lycée, nos programmes de classes préparatoires définissent un corpus de connaissances et de capacités, et explicitent six grandes compétences qu’une activité mathématique bien conçue permet de développer : – s’engager dans une recherche, mettre en oeuvre des stratégies : découvrir une problématique, l’analyser, la transformer ou la simplifier, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identifier des particularités ou des analogies ; – modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à la réalité, le valider, le critiquer ; – représenter : choisir le cadre (numérique, algébrique, géométrique ...) le mieux adapté pour traiter un problème ou représenter un objet mathématique, passer d’un mode de représentation à un autre, changer de registre ; – raisonner, argumenter : effectuer des inférences inductives et déductives, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture ; – calculer, utiliser le langage symbolique : manipuler des expressions contenant des symboles, organiser les différentes étapes d’un calcul complexe, effectuer un calcul automatisable à la main où à l’aide d’un instrument (calculatrice, logiciel…), contrôler les résultats ; – communiquer à l’écrit et à l’oral : comprendre les énoncés mathématiques écrits par d’autres, rédiger une solution rigoureuse, présenter et défendre un travail mathématique.

Objectifs Généraux

Cette unité d'enseignement des Mathématiques vise deux objectifs :
– l’acquisition d’un solide bagage de connaissances et de méthodes permettant notamment de passer de la perception intuitive de certaines notions à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathématiques et dans les autres disciplines. Ce degré d’appropriation suppose la maîtrise du cours, c’est-à-dire des définitions, énoncés et démonstration des théorèmes figurant au programme;
– le développement de compétences utiles aux scientifiques pour identifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendre avec un recul suffisant des décisions dans un contexte complexe.
Pour répondre à cette double exigence, et en continuité avec les programmes de mathématiques du lycée, nos programmes de classes préparatoires définissent un corpus de connaissances et de capacités, et explicitent six grandes compétences qu’une activité mathématique bien conçue permet de développer :
– s’engager dans une recherche, mettre en oeuvre des stratégies : découvrir une problématique, l’analyser, la transformer ou la simplifier, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identifier des particularités ou des analogies ;
– modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à la réalité, le valider, le critiquer ;
– représenter : choisir le cadre (numérique, algébrique, géométrique ...) le mieux adapté pour traiter un problème ou représenter un objet mathématique, passer d’un mode de représentation à un autre, changer de registre ;
– raisonner, argumenter : effectuer des inférences inductives et déductives, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture ;
– calculer, utiliser le langage symbolique : manipuler des expressions contenant des symboles, organiser les différentes étapes d’un calcul complexe, effectuer un calcul automatisable à la main où à l’aide d’un instrument (calculatrice, logiciel…), contrôler les résultats ;
– communiquer à l’écrit et à l’oral : comprendre les énoncés mathématiques écrits par d’autres, rédiger une solution rigoureuse, présenter et défendre un travail mathématique.

Contenu
1. Limites, continuité et dérivabilité A - Limites et continuité a) Limite d’une fonction en un point b) Continuité en un point c) Continuité sur un intervalle B - Dérivabilité a) Nombre dérivé, fonction dérivée b) Propriétés des fonctions dérivables c) Fonctions de classe C^k 2. Géométrie du plan et de l’espace A- Géométrie du plan a) Modes de repérage b) Produit scalaire c) Produit mixte dans le plan orienté d) Droites e) Cercles B- Géométrie de l’espace a) Modes de repérage b) Produit scalaire c) Produit vectoriel dans l’espace orienté d) Produit mixte dans l’espace orienté e) Plans et droites f ) Sphères C- Exemples de transformations vectorielles du plan 3. Espaces vectoriels et applications linéaires A - Espaces vectoriels a) Espaces et sous-espaces vectoriels b) Familles finies de vecteurs B - Espaces vectoriels de dimension finie a) Dimension finie b) Sous-espaces d’un espace vectoriel de dimension finie C - Applications linéaires 4. Analyse asymptotique a) Relations de comparaison : cas des suites b) Relations de comparaison : cas des fonctions c) Développements limités d) Applications des développements limités 1. Calculs matriciel a) Ensembles de matrices b) Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel c) Matrices carrées inversibles d) Transposition e) Déterminants 2. Polynômes a) L’ensemble K[X] b) Divisibilité et division euclidienne dans K[X] c) Dérivation dans K[X] d) Racines e) Décomposition en produit d’irréductibles de C[X] et R[X] f ) Somme et produit des racines d’un polynôme 3. Intégration a) Fonctions en escalier b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment c) Sommes de Riemann d) Calcul intégral e) Formule de Taylor avec reste intégral

Contenu

1. Limites, continuité et dérivabilité
A - Limites et continuité
a) Limite d’une fonction en un point
b) Continuité en un point
c) Continuité sur un intervalle
B - Dérivabilité
a) Nombre dérivé, fonction dérivée
b) Propriétés des fonctions dérivables
c) Fonctions de classe C^k

2. Géométrie du plan et de l’espace
A- Géométrie du plan
a) Modes de repérage
b) Produit scalaire
c) Produit mixte dans le plan orienté
d) Droites
e) Cercles

B- Géométrie de l’espace
a) Modes de repérage
b) Produit scalaire
c) Produit vectoriel dans l’espace orienté
d) Produit mixte dans l’espace orienté
e) Plans et droites
f ) Sphères

C- Exemples de transformations vectorielles du plan

3. Espaces vectoriels et applications linéaires
A - Espaces vectoriels
a) Espaces et sous-espaces vectoriels
b) Familles finies de vecteurs
B - Espaces vectoriels de dimension finie
a) Dimension finie
b) Sous-espaces d’un espace vectoriel de dimension finie
C - Applications linéaires

4. Analyse asymptotique
a) Relations de comparaison : cas des suites
b) Relations de comparaison : cas des fonctions
c) Développements limités
d) Applications des développements limités
1. Calculs matriciel
a) Ensembles de matrices
b) Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel
c) Matrices carrées inversibles
d) Transposition
e) Déterminants

2. Polynômes
a) L’ensemble K[X]
b) Divisibilité et division euclidienne dans K[X]
c) Dérivation dans K[X]
d) Racines
e) Décomposition en produit d’irréductibles de C[X] et R[X]
f ) Somme et produit des racines d’un polynôme

3. Intégration
a) Fonctions en escalier
b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment
c) Sommes de Riemann
d) Calcul intégral
e) Formule de Taylor avec reste intégral

Prérequis
Spécialité mathématiques en terminale. Module semestre 1

Bibliographie
Mathématiques tout-en-un PCSI-PTSI Claude Deschamps, François Moulin, , Nathalie Cleirec, Jack Michel CORNIL, Yoann Gentric, François Lussier, Chloé Mullaert, Serge Nicolas (J'intègre, Dunod) Mathématiques Méthodes et exercices PCSI-PTSI Jean-Marie Monier, Guillaume Haberer

Évaluation(s)
N°	Nature	Coefficient	Objectifs
1		1	Devoir écrit